MECÂNICA GRACELI GENER. - QUÂNTICA DIMENSIONAL TENSORIAL RELATIVISTA DE CAMPOS [712]

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

[

$\psi ^{*}$

$TeoriaInteraçãomediadorMagnitude relativaComportamentoFaixaCromodinâmicaForça nuclear forteGlúon10411/r71,4 × 10-15 mEletrodinâmicaForça eletromagnéticaFóton10391/r2infinitoFlavordinâmicaForça nuclear fracaBósons W e Z10291/r5 até 1/r710-18 mGeometrodinâmicaForça gravitacionalgráviton101/r2infinito$

Teoria	Interação	mediador	Magnitude relativa	Comportamento	Faixa
Cromodinâmica	Força nuclear forte	Glúon	1041	1/r7	1,4 × 10-15 m
Eletrodinâmica	Força eletromagnética	Fóton	1039	1/r2	infinito
Flavordinâmica	Força nuclear fraca	Bósons W e Z	1029	1/r5 até 1/r7	10-18 m
Geometrodinâmica	Força gravitacional	gráviton	10	1/r2	infinito

$G* = OPERADOR DE DIMENSÕES DE GRACELI.$

DIMENSÕES DE GRACELI SÃO TODA FORMA DE TENSORES, ESTRUTURAS, ENERGIAS, ACOPLAMENTOS, , INTERAÇÕES E CAMPOS, DISTRIBUIÇÕES ELETRÔNICAS, ESTADOS FÍSICOS, ESTADOS QUÂNTICOS, ESTADOS FÍSICOS DE ENERGIAS DE GRACELI, E OUTROS.

As equações de Jefimenko descrevem o comportamento de campos elétricos e campo magnético em função da posição das fontes do campo em instantes retardados. Junto equação de continuidade, as equações de Jefimenko são equivalentes às equações de Maxwell.

Campo eletromagnético no vácuo

O campo elétrico $\mathbf {E}$ e o campo magnético $\mathbf {B}$ oriundos do término da densidade de carga $\rho \,$ e adensidade de corrente $\mathbf {J}$ como:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

${\begin{cases}\mathbf {E} ({\vec {r}},t)={\cfrac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\left({\frac {\rho (\mathbf {r'} ,t_{r})\mathbf {R} }{R^{3}}}+{\cfrac {\mathbf {R} }{R^{2}c}}{\cfrac {\partial \rho (\mathbf {r'} ,t_{r})}{\partial t}}-{\cfrac {1}{Rc^{2}}}{\cfrac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r'} ,t_{r})}{\partial t}}\right)d^{3}\mathbf {r'} }\\\mathbf {B} ({\vec {r}},t)={\cfrac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\left({\cfrac {\mathbf {J} (\mathbf {r'} ,t_{r})\times \mathbf {R} }{R^{3}}}+{\cfrac {1}{R^{2}c}}{\cfrac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r'} ,t_{r})}{\partial t}}\times \mathbf {R} \right)d^{3}\mathbf {r'} }\end{cases}}$ |1| Onde $\mathbf {R} =\mathbf {r} -\mathbf {r'}$ , e $t_{r}=t-R/c\,$ .

O uso do tempo retardado significa que o campo no instante t a uma distância R das cargas depende de como estavam as cargas situadas no instante anterior, devido a velocidade de propagação finita do campo ao campo criado pelas cargas de agora e se manifesta somente em tempos espaçados e grandes distâncias, porque não existe conexão entre a posição das cargas de "agora" em grandes distâncias das cargas.

Em física, a força de Lorentz é resultado da superposição da força elétrica proveniente de um campo elétrico ${\mathbf {E} }$ com a força magnética devida a um campo magnético ${\mathbf {B} }$ atuando sobre uma partícula carregada eletricamente que se move no espaço. Tal força é dada pela fórmula:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )

Evidentemente, para que a superposição ocorra é necessário que a partícula possua uma carga elétrica líquida não nula ( $q\neq 0$ ) e esteja em movimento em uma região do espaço onde haja um campo magnético. Analisando apenas as forças de caráter elétrico, se a velocidade $\mathbf {v}$ for nula, a partícula estará somente sob influência da força elétrica

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

////// ( $\mathbf {F=F} _{e}=q\mathbf {E}$ ).

A contribuição a $\mathbf {F}$ devida à força elétrica $\mathbf {F} _{e}$ é paralela ao campo elétrico ${\mathbf {E} }$ , resultando em aceleração da partícula carregada na mesma direção e sentido do campo; uma partícula com carga negativa sofrerá aceleração no sentido contrário ao do campo. A contribuição referente à força magnética ( $\mathbf {F} _{m}=q\mathbf {v} \times \mathbf {B}$ ) é sempre perpendicular ao campo $\mathbf {B}$ e à velocidade $\mathbf {v}$ , simultaneamente, conforme dita a regra do produto vetorial.

Vale a pena notar que a força magnética não realiza trabalho, uma vez que é perpendicular ao deslocamento (ou seja, não existe componente de $\mathbf {F} _{m}$ na direção de $\mathbf {v}$ . A força magnética altera a direção da velocidade sem alterar o seu módulo. Porém, como a força de Lorentz possui uma componente devida ao campo elétrico, essa, sim, pode realizar trabalho.

Algumas referências^[1] definem a força de Lorentz apenas como a componente de origem magnética, dando à força eletromagnética total algum outro nome. Neste artigo, o termo força de Lorentz refere-se à força elétrica mais a força magnética. A componente magnética da força de Lorentz se manifesta também como a força que atua em um fio conduzindo uma corrente elétrica imerso em uma região com campo magnético, também conhecida como força de Laplace.

As aplicações da força de Lorentz são muitas, como, por exemplo, em:

Fótons na matéria

Quando fótons passam através de material, tal como num prisma, frequências diferentes são transmitidas em velocidades diferentes. Isto é chamado de refração e resulta na dispersão das cores, onde fótons de diferentes frequências saem em diferentes ângulos. Um fenômeno similar ocorre na reflexão onde superfícies podem refletir fótons de várias frequências em diferentes ângulos.

A relação de dispersão associada para fótons é uma relação entre a frequência, f, e comprimento de onda, λ. ou, equivalentemente, entre sua energia, E, e momento, p. Isto é simples no vácuo, desde que a velocidade da onda, v, é dada por

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

v=\lambda f=c\,

As relações quânticas do fóton são:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

E=hf\,

p=h/\lambda \,

Onde h é constante de Planck. Então nós podemos escrever esta relação como:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

E=pc\,

que é característica de uma partícula de massa zero. Desta forma vemos como a notável constante de Planck relaciona os aspectos de onda e partícula.

Fórmula da variação de Compton

Compton usou uma combinação de três fundamentais fórmulas representando os diversos aspectos da física clássica e moderna, combinando-os para descrever o procedimento quântico da luz^[3].

Luz como uma partícula;
Dinâmica Relativística;
Trigonometria.

O resultado final nos dá a equação do espalhamento de Compton:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\lambda -\lambda _{0}={\frac {h}{m_{e}c}}(1-\cos {\theta })

Onde:

\lambda _{0}

é o comprimento de onda do fóton antes do espalhamento,

\lambda

é o comprimento de onda do fóton depois do espalhamento,

m_e é a massa do elétron,

{\frac {h}{m_{e}c}}

é conhecido como o comprimento de onda de Compton,

θ é o ângulo pelo qual a direção do fóton muda,

h é a constante de Planck, e

c é a velocidade da luz no vácuo.

Coletivamente, o comprimento de onda de Compton é $2,43\times 10^{-12}m$ .

Guias de onda são estruturas que direcionam a propagação de ondas, sejam estas sonoras ou eletromagnéticas, sendo a discussão deste artigo sobre as do último tipo. Essas guias são, de forma geral, canaletas retangulares ou cilindros metálicos ocos usados na transmissão de ondas eletromagnéticas de alta frequência (em geral, na faixa de rádio, microondas e luz visível). No caso em que possuem seção transversal constante, são denominadas guias de onda uniformes, sendo a guia de onda circular aquela cuja seção é um círculo.

Aplicações

Fibra óptica, um exemplo de aplicação de guias de onda.

As utilizações de guias de onda precedem a cunhagem do próprio nome ou o estudo analítico de suas propriedades. O fenômeno de transmissão de sinais através de canos ocos deu origem a aparatos como os estetoscópios.

Estes elementos também são usados na transmissão de energia entre componentes de sistemas como rádios, ou aparelhos ópticos ou de radar.

Alguns exemplos mais específicos incluem:

Fibras ópticas: transmitem luz e sinais por longas distâncias com baixa perda de intensidade do sinal.
Forno de micro-ondas: uma guia de ondas transmite potência do magnetron, onde as ondas são originadas, para a câmara de cozimento.
Radares: uma guia de onda transmite sinais na faixa de frequências de rádio para e de uma antena;
Guias de onda são usadas em instrumentos científicos para medir propriedades ópticas, acústicas e elásticas de objetos, por exemplo, sendo colocadas em contato com o espécime estudado, como no caso da ultrassonografia médica.

História

A proposição inicial, seguida do estudo matemático e experimental das guias de onda se deu ao redor do final do século XIX.^[1] O Barão de Rayleigh, John William Strutt, publicou uma análise sobre a propagação de ondas eletromagnéticas em guias de ondas circulares e retangulares preenchidas por um meio dielétrico, em 1897.^[2] Um estudo sobre a propagação de ondas em um cilindro dielétrico foi feito por Demetrius Hondros e Peter Debye em 1910.^[3] Em 1936, Carson, Mead, Schelkunoff e Southworth, do Bell Telephone Laboratories, forneceram resultados analíticos e empíricos em diferentes publicações.^[4]^[5]^[6]

Uma grande evolução no estudo teórico e experimental sobre a utilização das guias como elementos práticos de comunicação foi observada no período de 1936 a 1940, porém, o estado atual de conhecimento sobre este assunto é devido em maior parte ao esforço conjunto de matemáticos, físicos e engenheiros que trabalhavam em campo durante a Segunda Guerra Mundial. A necessidade de radares que operassem em frequências de microondas implicou uma alta prioridade para análises de guias de ondas e aparelhos que fizessem uso delas, como forma de substituir os sistemas de baixas frequências que convencionalmente predominavam. Simultaneamente, a busca por descrições matemáticas de diferentes soluções para problemas de condições de contorno complicadas se tornou imperativa.

Campos elétrico e magnético

As várias aplicações das guias de onda criam um interesse em saber mais precisamente como os campos elétricos e magnéticos se comportam em seu interior quando há uma onda eletromagnética se propagando. Esse tipo de informação permite ter critérios para selecionar ou construir uma guia que tenha determinadas propriedades vantajosas para uma aplicação específica.

De um ponto de vista matemático, isso é feito procurando a solução para as equações que regem essas grandezas. Em termos mais técnicos, é possível encontrar a solução analítica para os campos E e H, a partir das equações de Maxwell e das condições de contorno apropriadas.

[Expandir]Demonstração^[7]^[8]

Condição de contorno

Esquema mostrando o interior de um segmento de uma guia de ondas cilíndrica com representação do sistema de coordenadas cilíndricas para definir um ponto P.

Num problema matemático deste tipo, conhecido como Problema de valor sobre o contorno, as propriedades do sistema criam um conjunto de restrições que são aplicadas sobre as soluções analíticas possíveis, através de expressões conhecidas como condições de contorno.

No caso de uma guia de onda com paredes condutoras, temos que os campos elétricos tangentes a essas paredes devem ser iguais a zero:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

E_{\parallel }|_{r=a}=0

Modo TM

Neste caso, o campo magnético não possui componente longitudinal (ao longo do eixo da guia):

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

H_{z}^{0}=0

E_{\parallel }|_{r=a}=E_{z}^{0}(a)=0

Como vimos, isso implica:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

C_{n}J_{n}(k_{c}a)\cos(n\phi )e^{-\gamma z}=0\Rightarrow J_{n}(k_{c}a)=0

Definindo $p_{nl}$ como sendo a l-ésima raíz da função de Bessel $J_{n}$ , temos que:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

k_{c}={\frac {p_{nl}}{a}}

Sendo que os valores dessas raízes são tabelados e disponíveis em diversos livros, sites e softwares. Os valores de $p_{nl}$ determinam então os modos normais para o caso TM, os quais são normalmente conhecidos como TM_nl.

Modo TE

Neste caso, o campo elétrico não possui componente longitudinal:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

E_{z}^{0}=0

E_{\parallel }|_{r=a}=E_{\phi }^{0}(a)=0

Usando resultados obtidos anteriormente, temos:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

H_{z}^{0}=C'_{n}J_{n}(k_{c}a)\cos(n\phi )e^{-\gamma z}

E_{\phi }^{0}={\frac {1}{k_{c}^{2}}}\left({\frac {\gamma }{r}}{\frac {\partial E_{z}^{0}}{\partial \phi }}-{j\omega \mu }{\frac {\partial H_{z}^{0}}{\partial r}}\right)

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\therefore

E_{\phi }^{0}(a)={\frac {j\omega \mu }{k_{c}}}C'_{n}J'_{n}(k_{c}a)\cos(n\phi )=0\Rightarrow J'_{n}(k_{c}a)=0

Sendo $C'_{n}$ uma constante complexa associada com as condições de contorno e $J'_{n}$ a primeira derivada da função de Bessel ordinária do primeiro tipo.

Definindo $p'_{nl}$ como sendo a l-ésima raíz da derivada da função de Bessel $J'_{n}$ , temos que:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

k_{c}={\frac {p'_{nl}}{a}}

Sendo que os valores dessas raízes são também tabelados e disponíveis em diversos livros, sites e softwares. Os valores de $p'_{nl}$ determinam então os modos normais para o caso TE, os quais são normalmente conhecidos como TE_nl.

Pesquisar este blog

MECÂNICA GRACELI GENER. - QUÂNTICA DIMENSIONAL TENSORIAL RELATIVISTA DE CAMPOS [712]

Campo eletromagnético no vácuo

Fótons na matéria

Fórmula da variação de Compton

Aplicações

História

Campos elétrico e magnético

Condição de contorno

Modo TM

Modo TE

Comentários

Postar um comentário

Postagens mais visitadas deste blog